题目内容
已知f(x)=logmx（m为常数，m＞0且m≠1），设f(a1)，f(a2)，…，f(an)(n∈N*)是首项为4，公差为2的等差数列．
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式，并证明{an}是等比数列；
(Ⅱ)若bn=an·f（an），且数列{bn}的前n项和为Sn，当m=
时，求Sn；
(Ⅲ)若cn=anlgan，问是否存在m，使得{cn}中每一项恒小于它后面的项？若存在，求出m的范围；若不存在，说明理由.
解：(Ⅰ)由题意，
，
即
，所以，
，
所以
，
∵m＞0且m≠1，
∴m2为非零常数，
所以，数列
是以
为首项，m2为公比的等比数列。
(Ⅱ)由题意，
，
当m=
时，
，
所以，
，①
①式两端同乘以2，得
，②
②-①并整理，得
。
(Ⅲ)由题意，
，
要使
对一切n≥2成立，
即
对一切n≥2成立，
①当m＞1时，
对n≥2成立；
②当0＜m＜1时，
，
所以，
对一切n≥2成立，只需
，
解得：
，考虑到
，所以，
，
综上，当
或
时，数列
中每一项恒小于它后面的项。
，即
，所以，，所以
，∵m＞0且m≠1，
∴m2为非零常数，
所以，数列
是以为首项，m2为公比的等比数列。(Ⅱ)由题意，
，当m=
时，，所以，
，①①式两端同乘以2，得
，②②-①并整理，得
。(Ⅲ)由题意，
，要使
对一切n≥2成立，即
对一切n≥2成立，①当m＞1时，
对n≥2成立；②当0＜m＜1时，
，所以，
对一切n≥2成立，只需，解得：
，考虑到，所以，，综上，当
或时，数列中每一项恒小于它后面的项。
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