Question

若P是等边三角形ABC所在平面外一点，PA=PB=PC=

2

3

，△ABC的边长为1，则PC和平面ABC所成的角是（　　）

A．30°

B．45°

C．60°

D．90°

Answer 1

分析：取AB中点D，连接PD、CD，可证明出平面PCD⊥平面ABC，从而得到∠PCD是直线PC和平面ABC所成的角．在△PCD中，算出PD、CD的长，用余弦定理算出cos∠PCD的值，从而得到∠PCD的度数，即为PC和平面ABC所成的角．

解答：解：取AB中点D，连接PD、CD，
∵PA=PB，D为AB中点，∴PD⊥AB，同理可得CD⊥AB
∵PD、CD是平面PCD内的相交直线
∴AB⊥平面PCD
∵AB?平面ABC，∴平面PCD⊥平面ABC，
由此可得直线PC在平面ABC内的射影是直线CD，
∴∠PCD是直线PC和平面ABC所成的角
∵△PAB中，PA=PB=

2

3

，AB=1
∴PD=

PA2-( 1 2 AB)2

=

7

6

又∵正△ABC中，CD=

3

2

AB=

3

2

∴△PCD中，cos∠PCD=

PC2+CD2-PD2

2PC×CD

=

3

2

结合∠PCD是小于180°的正角，可得∠PCD=30°
即PC和平面ABC所成的角等于30°
故选：A

点评：本题在正三棱锥中求侧棱与底面所成角的大小，着重考查了线面垂直、面面垂直的证明和直线与平面所成角大小的求法等知识，属于中档题．