Question

【题目】求函数f（x）=sinx+cosx+sinxcosx的值域________．

Answer 1

【答案】[﹣1， + ]
【解析】解：令t=sinx+cosx= sin（x+ ），
则﹣ ≤t≤ ，t2=1+2sinxcosx，
则sinxcosx= ，
则f（x）=sinx+cosx+sinxcosx
=t+ = （t2+2t﹣1）
= （t+1）2﹣1；
∵﹣ ≤t≤ ，
∴﹣1≤ （t+1）2﹣1≤ + ；
故函数f（x）=sinx+cosx+sinxcosx的值域为[﹣1， + ]．
【考点精析】掌握函数的值域和三角函数的最值是解答本题的根本，需要知道求函数值域的方法和求函数最值的常用方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的；函数，当时，取得最小值为；当时，取得最大值为，则，，．