Question

已知函数f（x）=

x

ax+b

（a，b为常数，且a≠0）满足f（2）=1且方程f（x）=x有唯一解，求函数f（x）的解析式．

Answer 1

分析：先根据 f(x)=

x

ax+b

=x的方程有唯一解，整理成一元二次方程，求得a和b的关系，进而根据f（2）=1求得a和b，则函数f（x）解析式可得．

解答：解：由f（2）=1?

2

2a+b

=1，
化简得2a+b=2，又∵f（x）=x有一个解，
∴

x

ax+b

=x有一个解，即方程ax2+(b-1)x=0(x≠-

b

a

）有唯一解或b=0，
∴△=（b-1）²=0?b=1，又2a+b=2，∴a=

1

2

，
或a=1，b=0．
此时方程有唯一解x=0，满足x≠-

b

a

．
故所求为f（x）=

2x

x+2

或1．

点评：本题主要考查了函数与方程的综合运用．解题的过程重点根据方程得的情况判断判别式与0的关系．