Question

已知点P₁（a₁，b₁），P₂（a₂，b₂），…，P_n（a_n，b_n）（n为正整数）都在函数图象上．
（Ⅰ）若数列{a_n}是等差数列，证明：数列{b_n}是等比数列；
（Ⅱ）设a_n=n（n为正整数），过点P_n，P_n+1的直线与两坐标轴所围成的三角形面积为c_n，试求最小的实数t，使c_n≤t对一切正整数n恒成立．

Answer 1

解：（Ⅰ）设数列{a_n}的公差为d，由已知，（1分）
所以，（常数），（3分）
所以，数列{b_n}是等比数列．（4分）
（Ⅱ）若a_n=n，则，
∴，，，（6分）
直线P_nP_n+1的方程为，（7分），
它与x轴，y轴分别交于点A_n（n+2，0），，，，
∴数列{c_n}随n增大而减小∴，即最小的实数t的值为
分析：（Ⅰ）由点在图象上，则有，由等比数列的定义，则有从而得到结论．
（Ⅱ）有a_n=n，则有，则由，，其斜率，求得直线P_nP_n+1的方程为，再分别求得与坐标轴的交点，建立面积模型，再由作差法判断数列的单调性，求得其最大值，从而解得t的范围．
点评：本题主要考查函数与数列的综合运用，主要涉及了点与曲线的关系，数列的定义，及函数模型的建立与解决．