Question

（2007•深圳一模）已知点A（1，0），B（0，1）和互不相同的点P₁，P₂，P₃，…，P_n，…，满足

OPn

=an

OA

+bn

OB

(n∈N*)，其中{a_n}、{b_n}分别为等差数列和等比数列，O为坐标原点，若P₁是线段AB的中点．
（Ⅰ）求a₁，b₁的值；
（Ⅱ）点P₁，P₂，P₃，…，P_n，…能否共线？证明你的结论；
（Ⅲ）证明：对于给定的公差不零的{a_n}，都能找到唯一的一个{b_n}，使得P₁，P₂，P₃，…，P_n，…，都在一个指数函数的图象上．

Answer 1

分析：（Ⅰ）P₁是线段AB的中点⇒

OP1

=

1

2

OA

+

1

2

OB

，

OP1

=a1

OA

+b1

OB

，且

OA

 ，  

OB

不共线，由平面向量基本定理，能求出a₁，b₁的值．
（Ⅱ） 由

OPn

=an

OA

+bn

OB

(n∈N*) ⇒ 

OPn

=(an ， bn)，设{a_n}的公差为d，{b_n}的公比为q，则由于P₁，P₂，P₃，…，P_n，…互不相同，所以d=0，q=1不会同时成立；若d=0，则an=a1=

1

2

(n∈N*)，所以P₁，P₂，P₃，…，P_n，…都在直线x=

1

2

上．由此能求出当d≠0且q≠1时，P₁，P₂，P₃，…，P_n，…不共线． 
（Ⅲ）设P_n（a_n，b_n）都在指数函数y=a^x（a＞0，a≠1）的图象上，则bn=aan⇒

1

2

qn-1=a

1

2

+(n-1)d．令n=1，则

1

2

=a

1

2

  ⇒  a=

1

4

，于是，

1

2

qn-1=(

1

4

)

1

2

+(n-1)d ⇒q有唯一解q=(

1

4

)d．由此能够得到当对于给定的{a_n}，都能找到唯一的一个{b_n}，使得P₁，P₂，P₃，…，P_n，…，都在指数函数y=(

1

4

)x的图象上．

解答：解：（Ⅰ）P₁是线段AB的中点⇒

OP1

=

1

2

OA

+

1

2

OB

…（1分）
又

OP1

=a1

OA

+b1

OB

，且

OA

 ，  

OB

不共线，
由平面向量基本定理，知：a1=b1=

1

2

…（3分）
（Ⅱ） 由

OPn

=an

OA

+bn

OB

(n∈N*) ⇒ 

OPn

=(an ， bn)
设{a_n}的公差为d，{b_n}的公比为q，则由于P₁，P₂，P₃，…，P_n，…互不相同，所以d=0，q=1不会同时成立； （4分）
若d=0，则an=a1=

1

2

(n∈N*)，⇒P₁，P₂，P₃，…，P_n，…都在直线x=

1

2

上；           …（5分）
若q=1，则bn=

1

2

为常数列，⇒P₁，P₂，P₃，…，P_n，…都在直线y=

1

2

上；             …（6分）
若d≠0且q≠1，P₁，P₂，P₃，…，P_n，…共线?

Pn-1Pn

=（a_n-a_n-1，b_n-b_n-1）与

PnPn+1

=(an+1-an， bn+1-bn)共线（n＞1，n∈N^*）?（a_n-a_n-1）（b_n+1-b_n）-（a_n+1-a_n）（b_n-b_n-1）=0?d（b_n+1-b_n）-d（b_n-b_n-1）=0?（b_n+1-b_n）=（b_n-b_n-1）?q=1与q≠1矛盾，
∴当d≠0且q≠1时，P₁，P₂，P₃，…，P_n，…不共线．      …（9分）
（Ⅲ）设P_n（a_n，b_n）都在指数函数y=a^x（a＞0，a≠1）的图象上，则bn=aan⇒

1

2

qn-1=a

1

2

+(n-1)d（10分）
令n=1，则

1

2

=a

1

2

  ⇒  a=

1

4

，…（11分）
于是，

1

2

qn-1=(

1

4

)

1

2

+(n-1)d ⇒q有唯一解q=(

1

4

)d，…（13分）
由于d≠0，⇒q≠1，从而满足条件“P₁，P₂，P₃，…，P_n，…互不相同”．
∴当对于给定的{a_n}，都能找到唯一的一个{b_n}，
使得P₁，P₂，P₃，…，P_n，…，都在指数函数y=(

1

4

)x的图象上．…（14分）

点评：本题考查数列与解析几何间的关系，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．