题目内容
已知| OP |
| OA |
| OB=(5，1) |
（1）求使
| CA |
| CB |
| OC |
（2）当点C满足（1）时，求cos∠ACB．
分析：（1）设
=t
=（2t，t），求出
和
的坐标，代入
•
的式子进行运算，再利用二次函数的性质求出
•
的最小值．
（2）把
和
的坐标代入两个向量的夹角公式，求出cos∠ACB 的值．
| OC |
| OP |
| CA |
| CB |
| CA |
| CB |
| CA |
| CB |
（2）把
| CA |
| CB |
解答：解：（1）∵点C在直线OP上，∴可设
=t
=（2t，t）．
∵
=（1，7），
=（2t，t），
=（5，1），
∴
=
-
=（1-2t，7-t），
=
-
=（5-2t，1-t）．
∴
•
=（1-2t）（5-2t）+（7-t）（1+t）=5t2-20t+12=5（t-2）2-8．
∴当t=2时，
•
取得最小值-8，此时，
=（4，2）．
（2）当
=（4，2）时，
=（-3，5），
=（1，-1），
∴cos∠ACB=
=-
．
| OC |
| OP |
∵
| OA |
| OC |
| OB |
∴
| CA |
| OA |
| OC |
| CB |
| OB |
| OC |
∴
| CA |
| CB |
∴当t=2时，
| CA |
| CB |
| OC |
（2）当
| OC |
| CA |
| CB |
∴cos∠ACB=
| ||||
|
|
| 4 |
| 17 |
| 17 |
点评：本题考查两个向量的数量积公式的应用，两个向量坐标形式的运算，两个向量共线的性质，两个向量夹角公式的应用．
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