题目内容

若向量a、b、c满足a＋b＋c＝0，且|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4．则a·b＋b·c＋a·c＝________

答案：－13
解析：

　　思路解析：本题可以利用数量积公式两边平方求解；也可由已知条件，先得出三个向量之间的两两夹角，再用数量积公式．

　　方法一：∵a＋b＋c＝0，∴(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2a·c＝0，

　　∴2(a·b＋b·c＋a·c)＝－(a2＋b2＋c2)＝－(|a|2＋|b|2＋|c|2)＝－(32＋12＋42)＝－26，∴a·b＋b·c＋a·c＝－13．

　　方法二：根据已知条件可知|c|＝|a|＋|b|，c＝－a－b，所以a与b同向，c与a＋b反向．所以有a·b＋b·c＋a·c＝3cos0°＋4cos180°＋12cos180°＝3－4－12＝－13．


提示：

方法一是将“(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2”推广到(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2a·c予以解答．


练习册系列答案
相关题目
若向量
a
、
b
、
c
满足
a
+
b
+
c
=
0
，|
a
|=3，|
b
|=1，|
c
|=4，则
a•
b
+
b
•
c
+
c
•
a
等于
 
．
若向量
a
，
b
，
c
满足
a
∥
b
且
a
⊥
c
，则
c
•（
a
+2
b
）=（　　）
A、4B、3C、2D、0
若向量
a
，
b
，
c
满足
a
∥
b
且
a
⊥
c
，则
c
•（
a
+2
b
）=
0
0
．
若向量
a
，
b
，
c
满足
a
∥
b
且
a
⊥
c
，则
c
(
a
+2
b
)=
0
0
．
（2013•茂名二模）若向量
a
，
b
，
c
满足
a
∥
b
，且
b
•
c
=0，则(2
a
+
b
)•
c
=（　　）

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