Question

设函数，其中．

（I）解不等式；

（II）求的取值范围，使函数在区间上是单调函数．

Answer 1

解：（Ⅰ）不等式f（x） ≤1即≤1＋ax，

由此得1≤1＋ax，即ax≥0，其中常数a＞0．

所以，原不等式等价于

 即                                            

所以，当0＜a＜1时，所给不等式的解集为{x|0}；

当a≥1时，所给不等式的解集为{x|x≥0}．                            

（Ⅱ）在区间[0，+∞]上任取x₁、x₂，使得x₁＜x₂．

f（x₁）－f（x₂）= －－a（x₁－x₂）

         =－a（x₁－x₂）

         =（x₁－x₂）（－a）．                         

（）当a≥1时

∵ <1   ∴ －a<0，

又x₁－x₂<0，

∴ f（x₁）－f（x₂）>0，

即f（x₁）>f（x₂）．

所以，当a≥1时，函数f（x）在区间上是单调递减函数．      

（ii）当0<a<1时，在区间上存在两点x₁=0,x₂=，满足f（x₁）=1，f（x₂）=1，即f（x₁）=f（x₂），所以函数f（x）在区间上不是单调函数．

综上，当且仅当a≤1时，函数f（x）在区间上是单调函数．