Question

如图，在Rt△ABC中，已知BC=a，若长为2a的线段PQ以点A为中点，问的夹角θ取何值时的值最大？并求出这个最大值．

Answer 1

【答案】分析：要求的夹角θ取何值时的值最大，我们有两种思路：
法一：是将向量根据向量加减法的三角形法则，进行分析，分解成用向量表示的形式，然后根据，即=0，构造一个关于cosθ的式子，然后根据cosθ的取值范围，分析出的最大值；
法二：是以直角顶点A为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系．求出各顶点的坐标后，进而给出向量的坐标，然后利用平面向量的数量值运算公式，构造一个关于cosθ的式子，然后根据cosθ的取值范围，分析出的最大值．
解答：解：如下图所示：
解法一：∵，∴．
∵，
∴
=
=
=-
=-a²+a²cosθ．
故当cosθ=1，即θ=0（与方向相同）时，最大．其最大值为0．
解法二：以直角顶点A为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系．
设|AB|=c|AC|=b，则A（0，0），B（c，0），C（0，b），
且|PQ|=2a，|BC|=a．
设点P的坐标为（x，y），则Q（-x，-y）．
∴，
．
∴
=-（x²+y²）+cx-by．
∵cosθ=．
∴cx-by=a²cosθ．
∴．
故当cosθ=1，
即θ=0（与方向相同）时，
最大，其最大值为0．
点评：本小题主要考查向量的概念，平面向量的运算法则，考查运用向量及函数知识的能力．