Question

直角坐标平面中，过点A₁（1，0）作函数f（x）=x²（x＞0）的切线l₁，其切点为B₁（x₁，y₁）；过点A₂（x₁，0）作函数g（x）=e^x（x＞0）的切线l₂，其切点为B₂（x₂，y₂）；过点A₃（x₂，0）作函数f（x）=x²（x＞0）的切线l₃，其切点为B₃（x₃，y₃）；如此下去，即过点A_2k-2（x_2k-2，0）作函数f（x）=x²（x＞0）的切线l_2k-1，其切点为B_2k-1（x_2k-1，y_2k-1）；过点A_2k-1（x_2k-1，0）作函数g（x）=e^x（x＞0）的切线l_2k，其切点为B_2k（x_2k，y_2k）；…．
（1）求x_2k-2与x_2k-1及x_2k-1与x_2k的关系；
（2）求数列{x_n}通项公式x_n；
（3）是否存在实数t，使得对于任意的自然数n，不等式

1

x2+1

+

2

x4+1

+

3

x6+1

+…+

n

x2n+1

+1≤t-

6

t

恒成立？若存在，求出这样的实数t的取值范围；若不存在，则说明理由．

Answer 1

分析：（1）可利用导数几何意义求出以B_2k-1（x_2k-1，y_2k-1）为切点的切线l_2k-1的方程，又因为切线l_2k-1过点A_2k-2（x_2k-2，0），代入可得x_2k-2与x_2k-1的关系；同理可得x_2k-1与x_2k的关系；
（2）由（1）的递推关系可得x_2k=2x_2k-2+1，用构造新数列法，可知数列{x_2k+1}为等比数列，从而求得此数列的通项公式，进而求得{x_2k}的通项公式，再利用x_2k-2与x_2k-1的关系，求出数列{x_2k-1}的通项公式，最后写出数列
{x_n}通项公式即可
（3）利用错位相减法将S_n=

1

x2+1

+

2

x4+1

+

3

x6+1

+…+

n

x2n+1

+1求和，再利用S_n+1-S_n＞0证明其为递增数列，所以将S_n的最大值是

lim

n→∞

S_n，利用数列极限的求法可求出此值，再使t-

6

t

不小于这个极限值，解不等式得t的取值范围

解答：解：（1）∵f′（x）=2x，
∴切线l_2k-1的方程为y-x_2k-1²=2x_2k-1（x-x_2k-1），又切线l_2k-1过点A_2k-2（x_2k-2，0），
∴0-x_2k-1²=2x_2k-1（x_2k-2-x_2k-1），且x_2k-1＞0，
∴x_2k-1=2x_2k-2．
∴x₁=2．
又∵g′（x）=（e^x）′=e^x，
∴切线l_2k的方程为y-ex2k=ex2k（x-x_2k），而切线l_2k过点A_2k-1（x_2k-1，0），
∴0-ex2k=ex2k（x_2k-1-x_2k），且x_2k＞0，
∴x_2k=x_2k-1+1．
∴x₂=x₁+1=3．
故x_2k-2与x_2k-1的关系为x_2k-1=2x_2k-2；  x_2k-1与x_2k的关系为x_2k=x_2k-1+1．
（2）由（1）可知x_2k=x_2k-1+1=2x_2k-2+1，即x_2k+1=2（x_2k-2+1），
∴数列{x_2k+1}为等比数列，且首项为4，
∴x_2k+1=4×2^k-1，即x_2k=2^k+1-1．
而x_2k-1=2x_2k-2=2（2^k-1）=2^k+1-2，故数列{x_n}通项公式为x_n=

2 n+3 2 -2(n为奇数) 2 n+2 2 (n为偶数).

（3）（理）令S_n=

1

x2+1

+

2

x4+1

+

3

x6+1

+…+

n

x2n+1

+1=

1

22

+

2

23

+

3

24

+…+

n

2n+1

，
∴

1

2

S_n=

1

23

+

2

24

+

3

25

+…+

n

2n+2

，
两式相减得

1

2

S_n=

1

22

+

1

23

+

2

24

+

3

25

+…+

n

2n+1

-

n

2n+2

=

1 4 [1-2 1 n ]

1- 1 2

-

n

2n+2

=

1

2

（1-

1

2n

）-

n

2n+2

，
∴S_n=1-

1

2n

-

n

2n+1

=1-

n+2

2n+1

．
∴S_n+1-S_n=（1-

n+3

2n+2

）-（1-

n+2

2n+1

）=

n+1

2n+2

＞0，
∴数列{S_n}递增．
又当n≥6时，2ⁿ⁺¹=2（1+1）ⁿ=2（1+C_n¹+C_n²+C_n¹+CC_n³+…+C_n^n-3+C_n^n-2+C_n^n-1+C_nⁿ）＞4（1+C_n¹+C_n²）＞2（n²+n），
∴0＜

n+1

2n+1

＜

n+2

2(n2+n)

，而

lim

n→∞

n+2

2(n2+n)

=0，
∴

lim

n→∞

S_n=1．
∴对于任意的自然数n不等式恒成立等价于t-

6

t

≥1，
∴t[-2，0）∪[3，+∞）

点评：本题综合考查了利用递推公式求通项公式，错位相减求和，数列最值的求法，特别是与函数的结合，使本题的综合性提高，解决本题需要扎实的基本功．