Question

已知函数f（x）=x³-x²+

x

2

+

1

4

，且存在x₀∈（0，

1

2

），使f（x₀）=x₀．
（1）证明：f（x）是R上的单调增函数；
（2）设x₁=0，x_n+1=f（x_n）；y₁=

1

2

，y_n+1=f（y_n），其中n=1，2，…，证明：x_n＜x_n+1＜x₀＜y_n+1＜y_n；
（3）证明：

yn+1-xn+1

yn-xn

＜

1

2

．

Answer 1

分析：（1）证明函数f（x）在R上的单调增，只需证其导函数在R上恒大于零即可；
（2）先验证n=1时是否成立，假设当n=k（k≥1）时有x_k＜x_k+1＜x₀＜y_k+1＜y_k，再验证n=k+1时是否成立；
（3）利用基本不等式进行化简，利用整体的思想转化成二次函数，再根据二次函数性质求函数的最值即可．

解答：解：（1）∵f'（x）=3x²-2x+

1

2

=3（x-

1

3

）²+

1

6

＞0，
∴f（x）是R上的单调增函数．
（2）∵0＜x₀＜

1

2

，即x₁＜x₀＜y₁．又f（x）是增函数，
∴f（x₁）＜f（x₀）＜f（y₁）．即x₂＜x₀＜y₂．
又x₂=f（x₁）=f（0）=

1

4

＞0=x₁，y₂=f（y₁）=f（

1

2

）=

3

8

＜

1

2

=y₁，
综上，x₁＜x₂＜x₀＜y₂＜y₁．
用数学归纳法证明如下：
①当n=1时，上面已证明成立．
②假设当n=k（k≥1）时有x_k＜x_k+1＜x₀＜y_k+1＜y_k．
当n=k+1时，
由f（x）是单调增函数，有f（x_k）＜f（x_k+1）＜f（x₀）＜f（y_k+1）＜f（y_k），
∴x_k+1＜x_k+2＜x₀＜y_k+2＜y_k+1
由①②知对一切n=1，2，都有x_n＜x_n+1＜x₀＜y_n+1＜y_n．
（3）

yn+1-xn+1

yn-xn

=

f(yn)-f(xn)

yn-xn

=y_n²+x_ny_n+x_n²-（y_n+x_n）+

1

2

≤（y_n+x_n）²-（y_n+x_n）+

1

2

=[（y_n+x_n）-

1

2

]²+

1

4

．
由（Ⅱ）知0＜y_n+x_n＜1．
∴-

1

2

＜y_n+x_n-

1

2

＜

1

2

，
∴

yn+1-xn+1

yn-xn

＜（

1

2

）²+

1

4

=

1

2

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及用数学归纳法证明不等式，属于中档题．