Question

如图，在底面为直角梯形的四棱锥中，平面，，，．

⑴求证：；
(2)设点在棱上，，若∥平面，求的值.

Answer 1

(1)证明略；（2）。

试题分析：（1）∵∠DAB=90°，AD=1，AB=，∴BD=2，∠ABD=30°，
∵BC∥AD∴∠DBC=60°，BC=4，由余弦定理得DC=2，
BC²=DB²+DC²，∴BD⊥DC，
∵PD⊥面ABCD，∴BD⊥PD，PD∩CD=D，∴BD⊥面PDC，
∵PC在面PDC内，∴BD⊥PC。
（2）在底面ABCD内过D作直线DF∥AB，交BC于F，
分别以DA、DF、DP为x、y、z轴建立如图空间坐标系，
A（1，0，0），B（1，，0），P（0，0，a）C、（-3，，0），
=（-3，，-a），=（-3λ，λ，-aλ），
=（0，0，a）+（-3λ，λ，-aλ）=（-3λ，λ，a-aλ）,
=（0，，0），=（1，0，-a），
设=（x，y，z）为面PAB的法向量，由·=0，
得y=0，由·=0，得x-az=0，取x=a，z=1，
=（a，0，1），
由DE∥面PAB得：⊥
，∴·=0，-3aλ+a-aλ=0，∴λ=。
点评：中档题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、体积的计算。在计算问题中，有“几何法”和“向量法”。利用几何法，要遵循“一作、二证、三计算”的步骤，（2）利用空间向量，省去繁琐的证明，也是解决立体几何问题的一个基本思路。对计算能力要求较高。