题目内容

设点P在曲线y=x2+2上，点Q在曲线y=
x-2
上，则|PQ|的最小值等于______．
由y=x2+2，得：x2=y-2，x=±
y-2
．
所以，y=x2+2（x≥0）与y=
x-2
互为反函数．
它们的图象关于y=x对称．
P在曲线y=x2+2上，点Q在曲线y=
x-2
上，
设P（x，x2），Q（x，
x-2
）
要使|PQ|的距离最小，则P应在y=x2+2（x≥0）上，
又P，Q的距离为P或Q中一个点到y=x的最短距离的两倍．
以Q点为例，Q点到直线y=x的最短距离
d=
|x-
x-2
|
12+(-1)2
=
|
(x-2)2
+2-
x-2
|
2
=
|(
x-2
-
1
2
)2+
7
4
|
2
．
所以dmin=
7
4
2
=
7
2
8
．
则|PQ|的最小值等于2×
7
2
8
=
7
2
4
．
故答案为
7
2
4
．
练习册系列答案
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（Ⅰ）当S1=S2时，求点P的坐标；
（Ⅱ）当S1+S2有最小值时，求点P的坐标和最小值．
（2013•虹口区一模）设点P在曲线y=x2+2上，点Q在曲线y=
x-2
上，则|PQ|的最小值等于
7
2
4
7
2
4
．
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