Question

已知函数f（x）=x²+kx的图象在点A（1，f（1））处的切线方程为3x-y+b=0，数列{

2

f(n)

}的前n项和为S_n，则S₂₀₀₉=

2009

1005

．

Answer 1

分析：先根据切线方程，确定函数的解析式，进而可求数列的通项，利用裂项法可求S₂₀₀₉的值．

解答：解：由题意，f′（x）=2x+k，则f′（1）=2+k，f（1）=1+k
∵函数f（x）=x²+kx的图象在点A（1，f（1））处的切线方程为3x-y+b=0
∴2+k=3，3+b=1+k
∴k=1，b=-1
∴f（x）=x²+x
∴

2

f(n)

=

2

n2+n

=2（

1

n

-

1

n+1

）
∴S_n=2[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）]=2（1-

1

n+1

）=

2n

n+1

∴S₂₀₀₉=

2009

1005

故答案为：

2009

1005

点评：本题考查导数知识的运用，考查数列的通项与求和，确定数列的通项，利用裂项法求和是关键．