Question

（2010•湖北模拟）已知向量，

m

=（sinB，1-cosB），且向量

m

与向量

n

=（2，0）的夹角

π

3

，其中A、B、C是△ABC的内角．
（1）求角B的大小；
（2）求cosA•cosC的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据向量的数量积求出

m

•

n

，再求出

m

的模，代入向量夹角的余弦值列出方程，再由平方关系化简，求出
cosB，再由内角的范围求出B；
（2）由（1）和内角和定理用A表示C，代入cosA•cosC利用两角差的余弦公式、两角和的正弦公式化简，再求出A的范围，进而求出“2A+

π

6

”的范围，再根据正弦函数的性质，求出cosA•cosC的范围．

解答：解：（1）由题意得，

m

•

n

=2sinB，
|

m

|=

sin2B+(1-cosB)2

=

2-2cosB

，
∵

m

与

n

的夹角为

π

3

，
∴cos

π

3

=

m • n

| m || n |

，即

1

2

=

2sinB

2 2-2cosB

，
化简得，2sin²B=1-cosB，即2cos²B-cosB-1=0，
解得cosB=1或cosB=-

1

2

，
∵0＜B＜π，∴B=

2π

3

，
（2）由（1）得，B=

2π

3

，则A+C=π-

2π

3

=

π

3

，∴C=

π

3

-A，
∴cosA•cosC=cosA•cos（

π

3

-A）
=cosA（

1

2

cosA+

3

2

sinA）=

1

2

cos2A+

3

2

sinAcosA
=

1

2

•

1+cos2A

2

+

3

4

sin2A
=

1

2

(

3

2

sin2A+

1

2

cos2A)+

1

4

=

1

2

sin(2A+

π

6

)+

1

4

由C=

π

3

-A＞0得，0＜A＜

π

3

，则

π

6

＜2A+

π

6

＜

5π

6

，
∴

1

2

＜sin(2A+

π

6

)≤1，
则

1

2

＜

1

2

sin(2A+

π

6

)+

1

4

≤

3

4

，
故cosA•cosC的取值范围是：(

1

2

，

3

4

]．

点评：本题是向量与三角函数结合的综合题，考查了向量的数量积，两角差的余弦公式、两角和的正弦公式，以及正弦函数的性质等知识，考查运算能力．