Question

17．已知数列{a_n}的通项公式为a_n=3ⁿ，记数列{a_n}的前n项和为S_n，若?n∈N^*使得（S_n+$\frac{3}{2}}$）k≥3n-6成立，则实数 k的取值范围是$[{-\frac{2}{3}，+∞}）$．

Answer 1

分析 利用等比数列的求和公式可得S_n，代入（S_n+$\frac{3}{2}}$）k≥3n-6，化简利用数列的单调性即可得出．

解答 解：∵数列{a_n}的通项公式为a_n=3ⁿ，
∴数列{a_n}是等比数列，公比为3，首项为3．
∴S_n=$\frac{3（{3}^{n}-1）}{3-1}$=$\frac{{3}^{n+1}}{2}$-$\frac{3}{2}$，
∴（S_n+$\frac{3}{2}}$）k≥3n-6化为：k≥$\frac{2n-4}{{3}^{n}}$，
∵?n∈N^*使得（S_n+$\frac{3}{2}}$）k≥3n-6成立，∴k≥$（\frac{2n-4}{{3}^{n}}）_{min}$．
令b_n=$\frac{2n-4}{{3}^{n}}$，则b_n+1-b_n=$\frac{2n-2}{{3}^{n+1}}$-$\frac{2n-4}{{3}^{n}}$=$\frac{6-2n}{{3}^{n+1}}$，
n≤3时，b_n+1≥b_n；n≥4时，b_n+1＜b_n．
∴b₁＜b₂＜0＜b₃=b₄＞b₅＞…＞0．
∴$（\frac{2n-4}{{3}^{n}}）_{min}$=b₁=$-\frac{2}{3}$．
∴$k≥-\frac{2}{3}$．
故答案为：$[{-\frac{2}{3}，+∞}）$．

点评 本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、不等式的化简、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．