Question

已知函数f（x）=ln（x-1）-k（x-1）+1．
（1）求函数f（x）的单调区间；   
（2）若f（x）≤0恒成立，求实数k的取值范围；
（3）证明：ln2+ln3+…lnn＜

n(n-1)

2

（n＞1，n∈N^*）

Answer 1

分析：（1）求出函数的导函数，然后分k≤0和k＞0讨论函数的单调区间；
（2）把函数f（x）的解析式代入f（x）≤0，变形后把变量k分离出来，得到k≥

ln(x-1)+1

x-1

，然后利用导函数求不等式右边的最大值，则实数k的取值范围可求；
（3）由（1）可知，若k=1，当x∈（2，+∞）时有f（x）＜0，由此得到lnx＜x-1（x＞1），依次取x的值为2，3，…，n，累加后利用分组求和可证不等式ln2+ln3+…lnn＜

n(n-1)

2

．

解答：（1）解：f（x）的定义域为（1，+∞），f/(x)=

1

x-1

-k，
当k≤0时，f/(x)=

1

x-1

-k＞0，函数f（x）的递增区间为（1，+∞），
当k＞0时，由f/(x)=

1

x-1

-k＞0，得：x＜1+

1

k

，函数f（x）的递增区间为(1，1+

1

k

)，
由f/(x)=

1

x-1

-k＜0，得：x＞1+

1

k

，函数f（x）的递减区间为(1+

1

k

，+∞)；
（2）由f（x）≤0，即ln（x-1）-k（x-1）+1＜0得，k≥

ln(x-1)+1

x-1

，
令y=

ln(x-1)+1

x-1

，则y/=

-ln(x-1)

(x-1)2

，
∴当x∈（1，2）时，y′＞0，函数y=

ln(x-1)+1

x-1

递增；当x∈（2，+∞）时，y′＜0，函数y=

ln(x-1)+1

x-1

递减．∴当x=2时函数取得最大值为1，∴k≥1；
（3）由（1）可知若k=1，当x∈（2，+∞）时有f（x）＜0，∴ln（x-1）-（x-1）+1＜0，
即ln（x-1）＜x-2，即有lnx＜x-1（x＞1），
令x=n，则lnn＜n-1，
∴ln2+ln3+…+lnn＜（2-1）+（3-1）+…+（n-1）=（2+3+…+n）-（n-1）
=

(2+n)(n-1)

2

-(n-1)=

n(n-1)

2

（n＞1，n∈N^*）．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数的最值，训练了分离变量法，（3）中不等式的证明是该题的难点所在，考查了学生灵活处理问题和解决问题的能力，此题是有一定难度题目．