Question

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥BC，∠A₁AC=60°，A1A=AC=BC=1，A1B=

2

．
（1）求证：平面A₁BC⊥平面ACC₁A₁；
（2）如果D为AB中点，求证：BC₁∥平面A₁CD．

Answer 1

分析：（1）要证平面A₁BC⊥平面ACC₁A₁，只需证明平面A₁BC内的直线BC，垂直平面ACC₁A₁内的两条相交直线A₁A、A₁C即可；
（2）D为AB中点，连接AC₁交A₁C于O，连接OD，要证BC₁∥平面A₁CD，只需证明BC₁，平行平面A₁CD内的直线OD即可．

解答：证明：（1）因为∠A₁AC=60°，A₁A=AC=1，
所以△A₁AC为等边三角形，所以A₁C=1，
因为BC=1，A₁B=

2

，所以A₁C²+BC²=A₁B²
所以∠A₁CB=90°，即 A₁C⊥BC
因为BC⊥A₁A，BC⊥A₁C，A₁A?平面ACC₁A₁，
A₁C?平面ACC₁A₁，A₁A∩A₁C=A₁，
所以BC⊥平面ACC₁A₁，
因为BC?平面A₁BC
所以平面A₁BC⊥平面ACC₁A₁
（2）连接AC₁交A₁C于O，连接OD
因为ACC₁A₁为平行四边形，所以O为AC₁的中点
因为D为AB的中点，所以OD∥BC₁
因为OD?平面A₁CD，BC₁在平面A₁CD外
所以BC₁∥平面A₁CD．

点评：本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．