Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=8，AB=10，O为BC上一点，以O为圆心，OB为半径作半圆与BC边、AB边分别交于点D、E，连接DE。

（1）若BD=6，求线段DE的长；
（2）过点E作半圆O的切线，交AC于点F，
证明：AF=EF。

Answer 1

（Ⅰ）DE＝＝．  （Ⅱ）见解析

本试题主要是考查了平面几何中圆的性质和三角形相似的综合运用。利用
（1）因为BD=6，利用相似比线段DE的长；
（2）过点E作半圆O的切线，交AC于点F，结合弦切线定理，表示出角的关系，以及三角形的形状，进而得证。
解：（Ⅰ）∵BD是直径，∴∠DEB＝90º，∴＝＝，∵BD＝6，∴BE＝，
在Rt△BDE中，DE＝＝．           …5分
（Ⅱ）连结OE，

∵EF为切线，∴∠OEF＝90º，∴∠AEF＋∠OEB＝90º，又∵∠C＝90º，∴∠A＋∠B＝90º，又∵OE＝OB，∴∠OEB＝∠B，∴∠AEF＝∠A，∴AF＝EF．