Question

如图，ABB₁A₁是圆台的轴截面，O₁、O分别是上下底面圆的圆心，A₁O₁=1，AO=2，母线与底面成60°角，点C在底面圆周上，且AC=2

2

，求：
（1）圆台的侧面积和体积；
（2）异面直线A₁C与OO₁所成的角的正切值．

Answer 1

分析：（1）要求侧面积，则需求母线长，要求体积，则需求高，所以A₁D⊥AO易知A₁D垂直圆台底面，所以∠A₁AD为母线与底面所成的角，于是在Rt△A₁AD中求得母线和高，再由侧面积公式和体积公式求解．
（2）由（1）易知A₁D∥OO₁，连接CD，可知∠CA₁D就是异面直线A₁C与OO₁所成的角，再求得CD即可．

解答：解：（1）由已知A₁O₁=1，AO=2，作A₁D⊥AO于点D，则AD=AO-A₁O₁=1，
因为轴截面ABB₁A₁垂直于圆台底面，所以A₁D垂直圆台底面，
所以∠A₁AD=60°，（3分）
于是在Rt△A₁AD中，得A₁A=2，A1D=

3

，
即圆台的母线长为2，高为

3

．（5分）
所以圆台的侧面积为S=π（1+2）×2=6π，
圆台的体积为V=

1

3

π(12+22+1×2)×

3

=

7 3 π

3

．（8分）
（2）由（1）可知A₁D∥OO₁，连接CD，
则∠CA₁D就是异面直线A₁C与OO₁所成的角，（10分）
因为AO=CO=2，AC=2

2

，
所以∠AOC=90°，
又AD=DO=1，所以在Rt△COD中可得CD=

5

，
所以tan∠CA1D=

CD

A1D

=

5

3

=

15

3

．（13分）

点评：本题主要考查圆台的结构特征，侧面积和体积的求法以及异面直线所成的角，同时，考查了作辅助线的能力和转化能力，属中档题．