Question

已知椭圆C:=1(a＞b＞0)过点(1,),且离心率e=.

(1)求椭圆方程；

(2)若直线l:y=kx+m(k≠0)与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN的垂直平分线过定点G(,0),求k的取值范围.

Answer 1

解:(1)由题意椭圆的离心率e=.∴=.∴a=2c.∴b²=a²-c²=3c².

∴椭圆方程为=1.

又点(1,)在椭圆上,∴+=1.∴c²=1.∴椭圆的方程为+=1.

(2)设M(x₁,y₁),N(x₂,y₂).由消去y并整理得(3+4k²)x²+8kmx+4m²-12=0.

∵直线y=kx+m与椭圆有两个交点,Δ=(8km)²-4(3+4k²)(4m²-12)＞0,即m²＜4k²+3.

又x₁+x₂=,∴MN中点P的坐标为(,).

设MN的垂直平分线l′方程:y=(x),∵P在l′上,∴=(),

即4k²+8km+3=0.∴m=(4k²+3).

将上式代入得＜4k²+3,∴k²＞,即k＞或k＜.

∴k的取值范围为(-∞,)∪(,+∞).