Question

已知函数f(x)=

a

2

-

2x

2x+1

（a为常数）
（1）证明：函数f（x）在（-∞，+∞）上是减函数；
（2）若f（x）为奇函数，求a的值．

Answer 1

（1）证明：在（-∞，+∞）上任取两个值x₁，x₂且x₁＜x₂
f（x₁）-f（x₂）=（

a

2

-

2x1

2x1+1

）-（

a

2

-

2x2

2x2+1

）
=

2x2

2x2+1

-

2x1

2x1+1

=

2x2-2x1

(2x1+1)(2x2+1)

∵2＞1且x₁＜x₂
∴2x2-2x1＞0又(2x1+1)(2x2+1)＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＞0即f（x₁）＞f（x₂）
∴函数f（x）在（-∞，+∞）上是减函数．
（2）∵f（x）为奇函数且在x=0处有意义，
∴f（0）=0
∴

a

2

-

20

20+1

=0
∴a=1