Question

【题目】若存在一个实数，使得成立，则称为函数的一个不动点，设函数（， 为自然对数的底数），定义在上的连续函数满足，且当时， .若存在，且为函数的一个不动点，则实数的取值范围为（ ）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】B

【解析】∵f（﹣x）+f（x）=x2

∴令F（x）=f（x）﹣，

∴f（x）﹣=﹣f（﹣x）+x2

∴F（x）=﹣F（﹣x），即F（x）为奇函数，

∵F′（x）=f′（x）﹣x，

且当x0时，f′（x）＜x，

∴F′（x）＜0对x＜0恒成立，

∵F（x）为奇函数，

∴F（x）在R上单调递减，

∵f（x）+≥f（1﹣x）+x，

∴f（x）+﹣≥f（1﹣x）+x﹣，

即F（x）≥F（1﹣x），

∴x≤1﹣x，

x0≤，

∵为函数的一个不动点

∴g（x0）=x0，

即h（x）= =0在（﹣∞，]有解．

∵h′（x）=ex-，

∴h（x）在R上单调递减．

∴h（x）min=h（）=﹣a即可，

∴a≥．

故选：B