Question

已知定义在R上的奇函数f（x）其图象关于直线x=1对称，当0＜x≤1时f（x）=x．
（1）求-1≤x≤3上f（x）的解析式；
（2）解不等式；
（3）求在[-200，200]上的根的个数．

Answer 1

【答案】分析：（1）由函数f（x）是定义在R上的奇函数，有f（0）=0．根据函数有区间（0，1]上的解析式，得出x∈[-1，0）时的解析式，再由函数f（x）的图象关于直线x=1对称，得到当x∈[1，3]时的解析式，最后得出当-1≤x≤3时，f（x）的解析式（2）由函数f（x）的图象关于直线x=1对称，结合函数f（x）是定义在R上的奇函数，得到f（x）是周期为4的周期函数．
根据（1）中函数解析式结合其周期性画出函数f（x）的图象，结合图象，得不等式的解集；
（3）对于一次函数，当x=100时，y=1，而函数y=f（x）的值域为[-1，1]，故只须考虑x∈[-100，100]内的根的个数即可，数形结合得出在[-200，200]上的根的个数．
解答：解：（1）由函数f（x）是定义在R上的奇函数，有f（0）=0．
x∈[-1，0）时，-x∈（0，1]，f（x）=-f（-x）=-（-x）=x．
故x∈[-1，0]时，f（x）=x．
∴x∈[-1，1]时，f（x）=x．
由函数f（x）的图象关于直线x=1对称，
有f（x+1）=f（1-x），即有f（x）=f（-x+2）．
当x∈[1，3]时，-x+2∈[-1，1]，
f（x）=f（-x+2）=-x+2．
∴当-1≤x≤3时，f（x）的解析式为：
f（x）=；

（2）由函数f（x）的图象关于直线x=1对称，
有f（x+1）=f（1-x），即有f（-x）=f（x+2）．
又函数f（x）是定义在R上的奇函数，有f（-x）=-f（x）．故f（x+2）=-f（x）．
从而f（x+4）=-f（x+2）=f（x）．即f（x）是周期为4的周期函数．
根据（1）中函数解析式结合其周期性画出函数f（x）的图象，
结合图象，得不等式的解集为：
[-+4k，+4k]，k∈Z；
（3）对于一次函数，当x=100时，y=1，
而函数y=f（x）的值域为[-1，1]，
故只须考虑x∈[-100，100]内的根的个数即可，
由于100=25×4，且在函数y=f（x）的一个周期4内的交点个数为2，
从而得出在[-200，200]上的根的个数为25×2+1=51．
点评：本题考查函数奇偶性的性质、根的存在性及根的个数判断、函数解析式的求解常用的方法，考查数形结合思想，本题是一个中档题目．