Question

如图，菱形ABCD与矩形BDEF所在平面互相垂直，∠BAD=

π

3

．
（1）求证：FC∥平面AED；
（2）若BF=k•BD，当二面角A-EF-C为直二面角时，求k的值．

Answer 1

分析：（1）先证面面平行．再根据面面平行的性质证线面平行即可；
（2）利用定义法作出二面角的平面角，再通过解直角三角形求出FB与AC的数量关系，从而求出k值．

解答：解：（1）证明：∵FB∥ED，BC∥AD，
又FB∩BC=B∴平面FBC∥平面EDA，
又∵FC?平面FBC，
∴FC∥平面AED．
（2）取EF，BD的中点M，N．由于AE=AF=CE=CF
∴AM⊥EF，CM⊥EF，且AM=CM．
∴∠AMC是二面角A-EF-C的平面角
连接AC，当∠AMC=90°即二面角A-EF-C为直二面角时，MN=

1

2

AC=AH
在菱形ABCD中，∠BAD=

π

3

，N为BD中点，∴AH=

3

2

BD，
又∵MN=BF
∴BF=

3

2

BD，
即k=

3

2

．

点评：本题考查线面平行的判定，二面角的平面角及求法．