Question

设函数f(x)=

x+a

x+b

(a＞b＞0)．
（I）证明f（x）在（-b，+∞）内是减函数；
（II）若不等式m＞

x+3

x+2

在[4，6]上恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（I）设x₁＞x₂＞-b，然后判定f（x₁）-f（x₂）的符号，根据函数单调性的定义进行判定即可；
（II）根据（I）可知函数

x+3

x+2

在（-2，+∞）上单调递减，从而得到在[4，6]上的单调性，从而可求出最值，即可求出所求．

解答：（I）证明：f（x）=

x+a

x+b

=1+

a-b

x+b

设x₁＞x₂＞-b，
则f（x₁）-f（x₂）=1+

a-b

x1+b

-（1-

a-b

x2+b

）=

(a-b)(x2-x1)

(x1+b)(x2+b)

；
∵a＞b＞0，x₁＞x₂＞-b
∴a-b＞0，x₂-x₁＜0，x₁+b＞0，x₂+b＞0
则f（x₁）-f（x₂）＜0
∴f（x）在（-b，+∞）内是减函数；
（II）∵不等式m＞

x+3

x+2

在[4，6]上恒成立
∴m＞（

x+3

x+2

）_max
而由（1）可知

x+3

x+2

在（-2，+∞）上单调递减则在[4，6]上减
∴m＞（

x+3

x+2

）_max=

4+3

4+2

=

7

6

．

点评：本题主要考查了分式函数的单调性，以及恒成立问题，同时考查了等价转化的思想和运算求解的能力，属于中档题．