Question

如图，已知梯形ABCD中，|AB|＝2|CＤ|，点E分有向线段所成的比为λ，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点．当≤λ≤时，求双曲线离心率e的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

解：以AB的垂直平分线为y轴，直线AB为x轴，建立直角坐标系xOy，则CD⊥y轴,因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于y轴对称． 依题意，记A（－c，0），C（，h），E（x0，y0），其中c=|AB|为双曲线的半焦距，h是梯形的高． 由定比分点坐标公式得． 设双曲线的方程为，则离心率e=. 由点C、E在双曲线上，将点C、E的坐标和e=代入双曲线方程得                              ① ② 由①式得               ③ 将③式代入②式，整理得（4－4λ）＝1＋2λ， 故λ＝1－． 由题设≤λ≤得，≤1－≤． 解得≤e≤． 所以双曲线的离心率的取值范围为［，］．