Question

【题目】已知函数.

（1）若在处的切线与直线垂直，求的极值；

（2）设与直线交于点，抛物线与直线交于点，若对任意，恒有，试分析的单调性.

Answer 1

【答案】（1）极大值为，无极小值（2）见解析

【解析】

（1）先求得函数的导函数，根据在处的切线与直线垂直，可求得的值，代入函数解析式后求得极值点，并分析极值点左右两侧的单调性，即可确定极值.

（2）由题意可知对任意的恒成立，代入的解析式，分离参数，并构造函数，并利用判断函数的单调性和最大值.对分和两种情况讨论，即可确定的单调区间.

（1）由可得，

由条件可得，即.

则，，

令可得.

当时，，所以在上单调递增，

当时，，所以在上单调递减，

的极大值为，无极小值

（2）由条件可知对任意的恒成立.

即，即对任意的恒成立.

令，则，

当时，，故，

在上单调递减，故，

.

①当时，，故在上单调递增；

②当时，由可得.

当时，，

当时，.

在上单调递增，在上单调递减.