Question

已知

a

=(x，1)，

b

=(x-2，-2)，且f(x)=

a

•

b

（1）当函数f（x）取得最小值时，求向量

a

，

b

夹角的余弦值；
（2）若函数f（x）在区间（m，m+1）上是单调函数，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用两个向量的数量积公式求得f（x）=（x-1）²-3，可得当x=1时，函数取得最小值为-3，此时，设向量

a

，

b

夹角为θ，则由两个向量的夹角公式求得cosθ 的值．
（2）由于二次函数f（x）=（x-1）²-3的对称轴为x=1，若函数f（x）在区间（m，m+1）上是单调函数，则得 m≥1，或 m+1≤1，由此求得实数m的取值范围．

解答：解：（1）由题意可得f(x)=

a

•

b

=x（x-2）+1×（-2）=（x-1）²-3，故当x=1时，函数取得最小值为-3，
此时，设向量

a

，

b

夹角为θ，则cosθ=

a • b

| a |•| b |

=

-3

2 • 1+4

=

-3 10

10

．
（2）由于二次函数f（x）=（x-1）²-3的对称轴为x=1，若函数f（x）在区间（m，m+1）上是单调函数，则得 m≥1，或 m+1≤1，
解得 m≥1，或 m≤0，故实数m的取值范围是[1，+∞）∪（-∞，1]．

点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量的数量积公式的应用，二次函数的性质，属于中档题．