Question

在等比数列{a_n}中，a₂+a₅=18，a₃．a₄=32，并且a_n+1＜a_n（n∈N^*）
（1）求a₂、a₅以及数列{a_n}的通项公式；
（2）设T_n=lga₁+lga₂+lga₃+…+lga_n，求当T_n最大时n的值．

Answer 1

分析：（1）由a₃•a₄=a₂•a₅及a₂+a₅=18可解得a₂，a₅，从而可得关于a₁，q的方程组，根据等比数列通项公式可得a_n；
（2）表示出lga_n，易判断{lga_n}是等差数列，利用等差数列的求和公式可求得T_n，根据二次函数性质可求得T_n最大时n的值；

解答：解：（1）∵a₃•a₄=a₂•a₅，∴由已知条件可得：

a2+a5=18 a2•a5=32

，并且a₅＜a₂，
解之得：a₂=16，a₅=2，
从而其首项a₁和公比q满足：

a1q=16 a1q4=2

，解得

a1=32 q= 1 2

，
故数列{a_n}的通项公式为：an=32•(

1

2

)n-1=6-n（n∈N*）；
（2）∵lga_n=lg2^6-n=（6-n）lg2（n∈N*），
∴数列{lga_n}是等差数列，
∴T_n=lga₁+lga₂+lga₃+…+lga_n
=5lg2+4lg2+3lg2+…+（6-n）lg2
=[5+4++3+2+…+（6-n）]lg2
=

n[5+(6-n)]

2

•lg2=

1

2

（11n-n²）lg2，
由于

1

2

lg2＞0，当且仅当11n-n²最大时，T_n最大，
所以当T_n最大时，n=5或6．

点评：本题考查等差数列的求和、等比数列的通项公式，考查学生的运算求解能力，属中档题．