Question

关于x的方程x²+bx+2c=0的两根x₁，x₂满足0＜x₁＜1＜x₂＜2，则

c+1

b+2

的范围是（　　）

A．（-2，1）

B．（-1，2）

C．（-∞，-2）∪（1，+∞）

D．（-∞，-1）∪（2，+∞）

Answer 1

分析：由题意可得f（0）＞0，f（1）＜0，f（2）＞0，化简可得

c＞0 b+2c+1＜0 b+c+2＞0

，而

c+1

b+2

表示点（b，c） 与点M（-2，-1）连线的斜率K，画出可行域△ABC 的内部区域，数形结合求得

c+1

b+2

的范围．

解答：解：令函数f（x）=x²+bx+2c，则函数f（x）的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为x₁，x₂ ，且满足0＜x₁＜1＜x₂＜2，
故有f（0）＞0，f（1）＜0，f（2）＞0．
化简可得

c＞0 b+2c+1＜0 b+c+2＞0

，而

c+1

b+2

 表示点（b，c） 与点M（-2，-1）连线的斜率K．如图所示：
画出可行域为△ABC 的内部区域，A（-3，1）、B（-2，0）、C（-1，0），
∴K＞K_MC=

0+1

-1+2

=1，或K＜K_MA=

1+1

-3+2

=-2，
故 K=

c+1

b+2

的范围是（-∞，-2）∪（1，+∞）．
故选C．

点评：本题主要考查了一元二次方程的根的分布与系数的关系，以及简单的线性规划的应用，体现了转化和数形结合的数学思想，属于中档题．