Question

已知函数f（x）=x³+x-16，
（1）求曲线y=f（x）在点（2，-6）处的切线的方程．
（2）如果曲线y=f（x）的某一切线与直线y=-

1

4

x+3垂直，求切点坐标与切线的方程．

Answer 1

分析：（1）确定点（2，-6）在曲线上，求导函数，可得切线斜率，从而可得切线方程；
（2）利用曲线y=f（x）的某一切线与直线y=-

1

4

x+3垂直，可得斜率的积为-1，从而可求切点坐标与切线的方程．

解答：解：（1）∵f（2）=2³+2-16=-6，∴点（2，-6）在曲线上．…（2分）
∵f′（x）=（x³+x-16）′=3x²+1，
∴在点（2，-6）处的切线的斜率为k=f′（2）=3×2²+1=13．…（4分）
∴切线的方程为y=13（x-2）+（-6），即y=13x-32．…（5分）
（2）∵切线与直线y=-

x

4

+3垂直，
∴斜率k=4，∴设切点为（x₀，y₀），…（7分）
则f′（x₀）=3x

2 0

+1=4，
∴x₀=±1，
x₀=1时，y₀=-14；x₀=-1，y₀=-18，
即切点坐标为（1，-14）或（-1，-18）．…（9分）
切线方程为y=4（x-1）-14或y=4（x+1）-18．
即y=4x-18或y=4x-14．…（10分）

点评：本题考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于中档题．