Question

如图，四边形ABCD是矩形，PA⊥面ABCD，其中AB=3，PA=4．
（1）当AD=4

3

，且在PD上存在一点E，使得BE⊥CE时，求二面角E-BC-A的平面角的余弦值；
（2）若在PD上存在一点E，使得BE⊥CE，试求AD的取值范围．

Answer 1

分析：（1）过点E作PA的平行线，交AD于F，过点F作AB的平行线，交BC于G，连接EG．则FG⊥BC，EG⊥BC，从而∠EGF就是二面角E-BC-A的平面角，在Rt△EFG中，利用余弦函数可求二面角E-BC-A的平面角的余弦值；
（2）令EF=x，AD=a，根据BE⊥CE，利用勾股定理可构建方程，利用方程有解，可求AD的取值范围．

解答：解：（1）过点E作PA的平行线，交AD于F，
∵PA⊥面ABCD，∴EF⊥面ABCD，过点F作AB的平行线，交BC于G，连接EG．则FG⊥BC，EG⊥BC，
∴∠EGF就是二面角E-BC-A的平面角，…（2分）
∵PA=4，AD=4

3

，令EF=x，则DF=

EF

PA

•AD=

3

x∴AF=

3

(4-x)
连接BF，在Rt△BEF中，BE²=BF²+EF²=AB²+AF²+EF²=9+3（4-x）²+x²
同理，连接CF，可得CE²=CF²+EF²=CD²+DF²+EF²=9+3x²+x²=9+4x²
∵BE⊥CE，∴BC²=BE²+CE²即9+3（4-x）²+x²+9+4x²=48，解之得x=

3

2

∴EF=

3

2

，…（5分）
从而 EG=

EF2+GF2

=

3 5

2

，∴cos∠EGF=

GF

EG

=

2 5

5

所以二面角E-BC-A的平面角的余弦值为

2 5

5

．                              …（6分）
（2）令EF=x，AD=a，则DF=

EF

PA

•AD=

a

4

x，AF=(1-

1

4

x)a
∵BE⊥CE，∴BC²=BE²+CE²则有a2=18+(1+

x2

8

-

x

2

)a2+2x2，
整理得(

a2

8

+2)x2-

a2

2

x+18=0，…（9分）
由△≥0，得a⁴-36a²-576≥0，解得a≥4

3

，所以AD≥4

3

．            …（12分）

点评：本题以线面垂直为载体，考查面面角，解题的关键是利用面面角的定义，正确作出面面角，有一定的综合性．