题目内容

已知对任意正整数n都有a1+a2+…+an=n3，则
1
a2-1
+
1
a3-1
+…+
1
a100-1
=______．
∵a1+a2+a3+…+an=n3，
∴a1=1，a1+a2=8，a1+a2+a3=27，a1+a2+a3+a4=64，a1+a2+a3+a4+a5=125，
∴a2=7，a3=19，a4=37，a5=61，an=3n（n-1）+1，
∴a100=3×100×99+1，
∴
1
a2-1
+
1
a3-1
+…+
1
a100-1
=
1
6
+
1
18
+
1
36
+
1
60
+…+
1
3×100×99
，
=
1
3
（
1
2
+
1
6
+
1
12
+
1
20
+…+
1
100×99
），
=
1
3
（1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+
1
3
-
1
4
+
1
4
-
1
5
+…+
1
99
-
1
100
），
=
1
3
（1-
1
100
），
=
33
100
．
故答案为：
33
100
练习册系列答案
相关题目
设数列{an}的前n项和为Sn，对任意的正整数n，都有an=5Sn+1成立，记bn=
4+an
1-an
(n∈N*)．
（Ⅰ）求数列{bn}的通项公式；
（Ⅱ）记cn=b2n-b2n-1（n∈N*），设数列{cn}的前n项和为Tn，求证：对任意正整数n都有Tn≤
3
2
；

（Ⅲ）设数列{bn}的前n项和为Rn．已知正实数λ满足：对任意正整数nRn≤λn恒成立，求λ的最小值．
（文）已知以a为首项的数列{an}满足：an+1=
an-3，an＞3
2an，an≤3.

（1）若0＜an≤6，求证：0＜an+1≤6；
（2）若a，k∈N﹡，求使an+k=an对任意正整数n都成立的k与a；
（3）若a=
3
2m-1
（m∈N﹡），试求数列{an}的前m项的和sm．
已知对任意正整数n都有a1+a2+…+an=n3，则
1
a2-1
+
1
a3-1
+…+
1
a100-1
=
33
100
33
100
．
（2011•自贡三模）己知．函数f（x）=
x-4
x+1
（x≠-1）的反函数是f-1（x）．设数列{an}的前n项和为Sn，对任意的正整数都有an=
6 f-1(Sn) -19
f-1(Sn)+1
成立，且bn=f-1（an）•
（I）求数列{bn}的通项公式；
（II）记cn=b2n-b2n-1（n∈N），设数列{cn}的前n项和为Tn，求证：对任意正整数n都有Tn＜
3
2
；
（III）设数列{bn}的前n项和为Rn，已知正实数λ满足：对任意正整数n，Rn≤λn恒成立，求λ的最小值．

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