Question

已知曲线C：，直线l：y=x，在曲线C上有一个动点P，过点P分别作直线l和y轴的垂线，垂足分别为A，B．再过点P作曲线C的切线，分别与直线l和y轴相交于点M，N，O是坐标原点．若△ABP的面积为，则△OMN的面积为    ．

Answer 1

【答案】分析：由题意易得B的坐标，写出垂线的方程联立y=x可得A坐标，进而可得△ABP的面积，可求a，然后可写出切线的方程，进而可得M、N的坐标，可表示出△OMN的面积，代入a值可得答案．
解答：解：由题意设点P（x，），则B（0，），
又与直线l垂直的直线向斜率为-1，故方程为y-（）=-（x-x）
和方程y=x联立可得x=y=，故点A（，），
故△ABP的面积S=
===，解得a=2，
又因为，所以，故切线率为，
故切线的方程为y-（）=（）（x-x），
令x=0，可得y=，故点N（0，），
联立方程y=x可解得x=y=2x，即点M（2x，2x），
故△OMN的面积为=2a=4，
故答案为：4
点评：本题考查利用导数研究曲线的切线方程，涉及三角形的面积和方程组的求解，属中档题．