Question

（2012•北海一模）已知函数f(x)=2ax-

b

x

+lnx．
（I）若f（x）在x=1，x=

1

2

处取和极值，
①求a、b的值；
②存在x0∈[

1

4

，2]，使得不等式f（x₀）-c≤0成立，求c的最小值；
（II）当b=a时，若f（x）在（0，+∞）上是单调函数，求a的取值范围．（参考数据e²≈7.389，e³≈20.08）

Answer 1

分析：（Ⅰ）①确定函数的定义域，求出导函数，利用f（x）在x=1 ，x=

1

2

处取得极值，可得f′(1)=0 ， f′(

1

2

)=0，从而可建立方程组，即可求出a，b值；
②在[

1

4

，2]存在x₀，使得不等式f（x₀）-c≤0成立，则只需c≥[f（x）]_min，利用导数确定函数的最小值，即可求解；
（Ⅱ）当 a=b 时，f′(x)=

2ax2+x+a

x2

，分类讨论：①当a=0时，f（x）=lnx；②当a＞0时，f'（x）＞0；③当a＜0时，设g（x）=2ax²+x+a，只需△≤0，从而可得结论

解答：解：（Ⅰ）①∵f(x)=2ax-

b

x

+lnx，定义域为（0，+∞）
∴f′(x)=2a+

b

x2

+

1

x

∵f（x）在x=1 ，x=

1

2

处取得极值，
∴f′(1)=0 ， f′(

1

2

)=0
即

2a+b+1=0 2a+4b+2=0

⇒

a=- 1 3 b=- 1 3

，所以所求a，b值均为-

1

3

②在[

1

4

，2]存在x₀，使得不等式f（x₀）-c≤0成立，则只需c≥[f（x）]_min
由f′(x)=-

2

3

-

1

3x2

+

1

x

=-

2x2-3x+1

3x2

=-

(2x-1)(x-1)

3x2

∴当x∈[

1

4

，

1

2

]时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减；
当x∈[

1

2

，1]时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增；
当x∈[1，2]时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减，
∴f（x）在x=

1

2

处有极小值
而f(

1

2

)=

1

3

+ln

1

2

=

1

3

-ln2 ，   f(2)=-

7

6

+ln2
又f(

1

2

)-f(2)=

3

2

-ln4=lne

3

2

-ln4，
因e3-16＞0 ， ∴  lne

3

2

-ln4＞0 ，      ∴  [f(x)]min=f(2)，
∴c≥  [f(x)]min=-

7

6

+ln2，
∴c∈ [-

7

6

+ln2，+∞)，
故 cmin=-

7

6

+ln2．
（Ⅱ）当 a=b 时，f′(x)=

2ax2+x+a

x2

①当a=0时，f（x）=lnx，则f（x）在（0，+∞）上单调递增；
②当a＞0时，∵x＞0，∴2ax²+x+a＞0，∴f'（x）＞0，则f（x）在（0，+∞）上单调递增；
③当a＜0时，设g（x）=2ax²+x+a，只需△≤0，从而得a≤-

2

4

，此时f（x）在（0，+∞）上单调递减；
综上可得，a∈(-∞，-

2

4

]∪[0，+∞)

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查函数的单调性与最值，用好导数是关键．