Question

函数f(x)=

x2+a

x+1

(a∈R)．
（1）若f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为

1

2

，求实数a的值；
（2）若f（x）在x=1取得极值，求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（1）求出函数的导函数，把x=1代入导函数得到切线的斜率k，让k=

1

2

即可得到a的值；
（2）由f（x）在x=1取得极值得到f′（1）=0，求出a的值，根据函数的定义域为x≠-1，分区间利用x的范围讨论导函数的正负，得到函数的单调区间．

解答：解：（1）f′(x)=

2x(x+1)-x2-a

(x+1)2

=

x2+2x-a

(x+1)2

，
若f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为

1

2

，则f′(1)=

1

2

．
所以，f“(1)=

3-a

4

=

1

2

，得a=1．
（2）因为f（x）在x=1处取得极值，
所以f'（1）=0，即1+2-a=0，a=3，
∴f′(x)=

x2+2x-3

(x+1)2

．
因为f（x）的定义域为{x|x≠-1}，所以有：

所以，f（x）的单调递增区间是（-∞，-3），（1+∞），单调递减区间是（-3，-1），（-1，1）．

点评：考查学生会利用导数研究曲线上某点的切线方程，会利用导数研究函数的单调性，会利用导数研究函数的极值．