Question

如图，在直三棱柱中，

，。M、N分别是AC和BB1的中点。

（1）求二面角的大小。

（2）证明：在AB上存在一个点Q，使得平面⊥平面，

并求出的长度。

 

 

Answer 1

（1）；（2）详见解析

【解析】

试题分析：（1）有两种思路，其一是利用几何体中的垂直关系，以B为坐标原点，所在的直线分别为，轴，轴，轴建立空间直角坐标系，利用平面与平面的法向量的夹角求二面角的大小.其二是按照作出二面角的平面角，并在三角形中求出该角的方法，利用平面平面，在平面内过点作，垂足是,过作，垂足为，连结,得二面角的平面角，最后在直角三角形中求；

（2）在空间直角坐标系中，设，求出平面的法向量，和平面的法向量

再由确定点的坐标，进而求线段的长度.

方法一（向量法）：如图建立空间直角坐标系 1分

（1）

设平面的法向量为，平面的法向量为

则有 3分

5分

设二面角为，则

∴二面角的大小为60°。 6分

（2）设, ∵

∴，设平面的法向量为

则有 10分

由（1）可知平面的法向量为，

平面平面

即此时, 12分

方法二：（1）取中点，连接

又平面,

平面 ，过作于，连接

平面 为二面角的平面角 3分

又

 

∴, ∴

（2）同解法一.

考点：1、二面角及其平面角的求法；2、空间直角坐标系；3、向量方法在解决立体几何问题中的应用.