Question

在直角坐标系xOy中，点M到点F₁（，0），F₂（，0）的距离之和是4，点M的轨迹C与x轴的负半轴交于点A，不过点A的直线l：y=kx+b与轨迹C交于不同的两点P和Q，
（1）求轨迹C的方程；
（2）当时，求k与b的关系，并证明直线l过定点。

Answer 1

解：（1）∵点M到，的距离之和是4，
∴M的轨迹C是长轴为4，焦点在x轴上焦距为的椭圆，
其方程为，

（2）将y=kx+b，代入曲线C的方程，整理得，
因为直线l与曲线C交于不同的两点P和Q，
所以，  ①
设，
则，  ②
且，  ③
显然，曲线C与x轴的负半轴交于点A（-2，0），
所以，
由，得，
将②、③代入上式，整理得，
所以，即b=2k或，
经检验，都符合条件①
当b=2k时，直线l的方程为y=kx+2k，
显然，此时直线l经过定点（-2，0）点，即直线l经过点A，与题意不符；
当时，直线l的方程为，
显然，此时直线l经过定点点，且不过点A；
综上，k与b的关系是：，且直线l经过定点点．