题目内容
已知函数f（x）=x3+bx2+ax+d的图象过点P（0，2），且在点M（﹣1，f（﹣1））处的切线方程为6x﹣y+7=0．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调区间．
考点：
导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性．
分析：
（Ⅰ）求解析式，只需把a，b，d三个字母求出即可．已知点P（0，2）满足f（x），得到d，又点M（﹣1，f（﹣1））处的切线方程为6x﹣y+7=0，可以得到f（﹣1）的值，并且得到f（x）在x=﹣1处的导数为6．
（Ⅱ）利用导数研究函数的单调性即可求出函数的单调区间．
解答：
解：（Ⅰ）∵f（x）的图象经过P（0，2），∴d=2，
∴f（x）=x3+bx2+ax+2，f'（x）=3x2+2bx+a．
∵点M（﹣1，f（﹣1））处的切线方程为6x﹣y+7=0
∴f'（x）|x=﹣1=3x2+2bx+a|x=﹣1=3﹣2b+a=6①，
还可以得到，f（﹣1）=y=1，即点M（﹣1，1）满足f（x）方程，得到﹣1+b﹣a+2=1②
由①、②联立得b=a=﹣3
故所求的解析式是f（x）=x3﹣3x2﹣3x+2．
（Ⅱ）f'（x）=3x2﹣6x﹣3．，令3x2﹣6x﹣3=0，即x2﹣2x﹣1=0．
解得
．当
；
当
．
故f（x）的单调增区间为（﹣∞，1﹣
），（1+，+∞）；单调减区间为（1﹣，1+）
点评：
本题主要考查了两个知识点，一是导数的几何意义，二是利用导数研究函数的单调性，属于函数这一内容的基本知识，更应该熟练掌握．
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