Question

设二次函数f（x）=ax²-4x+c的值域为[0，+∞），且f（1）≤4，则u=

a

c2+4

+

c

a2+4

的最大值为（　　）

• A、

  2

  3

• B、

  5

  3

• C、

  7

  4

• D、

  9

  4

Answer 1

分析：根据f（1）≤4，求得4≤a+c≤8由题意可知，a＞0，△=0，从而求出ac=4，将所求式子中的4代换成ac，利用裂项法进行整理，进而利用函数的单调性求得u=

a

c2+4

+

c

a2+4

的最大值．

解答：解：f（x）的值域为[0，+∞），故

a＞0 △=(-4)2-4ac=0

，即

a＞0 ac=4

又0≤f（1）≤4，即0≤a-4+c≤4，
所以4≤a+c≤8
u=

a

c2+4

+

c

a2+4

=

a2+c2

ac(a+c)

=

(a+c)2-2ac

ac(a+c)

=

a+c

4

-

2

a+c

由y=t-

1

2t

的单调性，u_max=

7

4

故选C．

点评：利用基本不等式求函数最值是高考考查的重点内容，对不符合基本不等式形式的应首先变形，然后必须满足三个条件：一正、二定、三相等．同时注意数形结合思想的运用．是中档题．