题目内容
如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC，AB=BC=kPA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP⊥底面ABC．
(1)求证：OD∥平面PAB；
(2)
时，求直线PA与平面PBC所成的角的正弦值；
(3)当k取何值时，O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心？
答案：略
解析：
解析：
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(1) 证明：∵O、D分别为AC、PC的中点，∴OD∥PA．又∵ PA 平面PAB
∴ OD∥平面PAB(2) 解：∵AB⊥BC，OA=OC，∴ OA=OA=OC又∵ OP⊥平面ABC，∴ PA=PB=PC．取 BC中点E，连结PE．则BC⊥平面POE．作 OF⊥PE于F，连结DF，则OF⊥平面PBC．∴∠ ODF是OD与平面PBC所成的角．又OD∥PA，∴ PA与平面PBC所成角的大小等于∠ODF．在Rt△ODF中，
(3) 解由(2)知，OF⊥平面PBC，∴ F是O在平面PBC内的射影．∵ D是PC的中点，若点F是△PBC的重心，则B、F、D三点共线．∴直线 OB在平面PBC内的射影为直线BD．∵ OD⊥PC，∴PC⊥BD．∴ PB=BC，即k=1．反之，当 k=1时，三棱锥O-PBC为正三棱锥，∴ O在平面PBC内的射影为△PBC的重心． |
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