Question

【题目】用一个平行于底面的截面去截一个正棱锥，截面和底面间的几何体叫正棱台.如图，在四棱台中，，分别为的中点.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）若侧棱所在直线与上下底面中心的连线所成的角为，求直线与平面所成的角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）连接交于，连接，，由已知，证得四边形是平行四边形，即是的中点，再由三角形的中位线定理证得，最后由线面平行的判定定理得证；

（Ⅱ）以为原点，为轴，为轴，为轴，由已知关系分别表示的坐标，进而表示与平面的法向量，最后由空间向量求线面角的运算公式求得答案即可.

（Ⅰ）连接交于，连接，，

在正四棱台中，，分别为的中点

所以四边形是平行四边形，所以是的中点.

因为是的中点，所以是的中位线.

所以，且面，

故平面.

（Ⅱ）以为原点，为轴，为轴，

为轴，建立空间直角坐标系.不妨设，

过做于，平面

则为测棱与底面所成的角，即，

，所以，，

，，则，

设平面的法向量

则，

令，则，

设直线与平面所成的角为，

所以，

，

故直线与平面所成的角的余弦值为.