Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，，，侧面SAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，且平面平面ABCD，M，N分别为AD，SC的中点．

（1）求证：平面SAB．

（2）求直线BN与平面SAB所成角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）取SB的中点H，连接AH与NH，由平面几何的知识可得四边形AHNM是平行四边形，，再由线面平行的判定即可得证；

（2）设直线BN与平面SAB所成的角为，其中，点N到平面SAB的距离为d，由题意结合线面、面面位置关系的性质与判定可得，连接SM，由面面垂直的性质可得平面ABCD，进而可得，由余弦定理求得后，利用，即可得解.

（1）如图，取SB的中点H，连接AH与NH，

∵M，N分别为AD，SC的中点，∴且，

∴，且，

∴四边形AHNM是平行四边形，，

∵平面SAB，平面SAB，∴平面SAB．

（2）设直线BN与平面SAB所成的角为，其中，点N到平面SAB的距离为d，

由（1）知平面SAB，则M到平面SAB的距离也是d，

∵平面平面ABCD，平面平面，，

∴平面SAD，又平面SAB，∴平面平面SAD，

又平面平面，平面SAD内的直线SD垂直于两平面的交线SA，

∴平面SAB．

∵M是等腰直角三角形ADS斜边AD的中点，所以M到平面SAB的距离d是DS的一半，

∵，∴，∴．

连接SM，CM，BM，

∵平面平面ABCD，平面SAD内的直线SM垂直两平面的交线AD于点M，

∴平面ABCD．

由勾股定理易得，

∴，

在中，由余弦定理得，

∴，

∴，，

∴直线BN与平面SAB所成角的余弦值为．