Question

如图直角梯形CBHQ，CB＝2，BH＝4，HQ＝3，BH的中点为原点O，一曲线过Q点且曲线上任意一点到B、H的距离之和都相等．

(1)求曲线方程；

(2)设曲线上任意一点P，求∠BPH的范围；(3)曲线上的弦以C为中点的有几条？并证明你的结论．

Answer 1

答案：
解析：

解(1)由题意曲线为椭圆，且过Q点 　　∵BH＝4　　O为中点　　∴c＝2　　又∵QB＋QH＝8 　　∴a＝4b2＝12　　所求方程为＋＝1 　　解(2)设曲线上任意一点P 　　则|PB|＋|PH|＝8|PB|·|PH|≤16 　　又cosθ＝＝＝－1≥ 　　∵cosθ在[0，π]上单调递减 　　∴θ∈[0，] 　　解(3)有一条 　　证明：设过C(－2，2)的直线斜率为k． 　　当k＝0和k不存在时，C不是弦的中点， 　　再设过C的直线方程为y＝k(x＋2)＋2 　　代入椭圆方程＋＝1 　　得(3＋4k2)x2＋16k(1＋k)x＋16(1＋k)2－12×4＝0 　　∵3＋4k2≠0　　∴k＝ 　　有唯一解．　　∴仅有一条弦　　(法二反证法)