Question

【题目】已知函数．

（1）若曲线在处的切线与直线垂直，求的单调区间；

（2）求证： 恒成立的充要条件是．

Answer 1

【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为．（2）详见解析

【解析】试题分析：（1）求导得单调递增区间为，单调递减区间为；（2）证明：①充分性．当时 ；②必要性． ，其中．由分类讨论思想结合导数工具可得当不满足题意，当时， 满足题意，综上所述， 恒成立的充要条件是．

试题解析：

因为，所以，

所以，解得．

令，得，所以得单调递增区间为，

令，得，所以的单调递减区间为．

（2）证明：①充分性．

当时， ， ，

所以当时， ，所以函数在上是增函数；

当时， ，所以函数在上是减函数．

所以．

②必要性．

，其中．

（i）当时， 恒成立，所以函数在上是增函数．

而，所以当时， ，与恒成立矛盾，

所以不满足题意．

（ii）当时，

因为当时， ，所以函数在上是增函数；

当时， ，所以函数在上是减函数．

所以，

因为，所以当时， ，此时与恒成立矛盾，

所以．

综上所述， 恒成立的充要条件是．