Question

【题目】如图（一），在直角梯形ABCP中，CP∥AB，CP⊥BC，AB=BC=CP，D是CP的中点，将△PAD沿AD折起，使点P到达点P′的位置得到图（二），点M为棱P′C上的动点．

（1）当M在何处时，平面ADM⊥平面P′BC，并证明；

（2）若AB=2，∠P′DC=135°，证明：点C到平面P′AD的距离等于点P′到平面ABCD的距离，并求出该距离．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）取中点M，先证与DM，AD垂直，进而证明AD⊥平面DC，再证明平面BC⊥平面ADM； （2）利用转换顶点三棱锥体积不变底面积相等易证点C到平面AD的距离等于点到平面ABCD的距离,并求该距离.

解：（1）当点M为C的中点时，平面ADM⊥平面BC，

证明如下：∵D=DC，M为C中点，

∴C⊥DM，

∵AD⊥DP，AD⊥DC，

∴AD⊥平面DC，

∴AD⊥C，

∴C⊥平面ADM，

∴平面BC⊥平面ADM；

（2）

证明：在平面CD上作H⊥CD于H，

由（1）中AD⊥平面DC，

可知平面CD⊥平面ABCD，

∴H⊥平面ABCD，

由题意得D=2，∠DH=45°，

∴H=，

又，

设点C到平面AD的距离为h，

即=，

由题意△ADC≌△AD，

∴H=h，

故点C到平面AD的距离等于点到平面ABCD的距离，且距离为．