Question

【题目】已知函数，.

（1）若函数图像在点处的切线斜率为时，求的值，并求此时函数的单调区间；

（2）若，为函数的两个不同极值点，证明：.

Answer 1

【答案】（1）,减区间为，无增区间.（2）见解析

【解析】

（1）根据导数几何意义列式解得的值，再求导数，根据导函数符号确定函数单调区间，（2）先取对数化简所证不等式为，再通过极值点条件化简为再转化不等式为，令，转化不等式为，最后根据导数研究函数单调性，即可证明不等式.

（1）解：求得

当时，，所以有，

令，所以当时，，单调递增：当时，，单调递减，故，所以.

则，故的单调减区间为，无增区间.

（2）要证：，也即证：，

又，所以，为方程的两根，

即，即证，而①-②得，

即证：，不妨设，，

则证：，所以，设，

则 ，

在单调递增，，即结论成立.