Question

已知数列{a_n}、{b_n}满足：a₁＝1，a₂＝a(a为常数)，且b_n＝a_n·a_n+1　　其中n＝1，2，3，…．

(Ⅰ)若{a_n}是等比数列，试求数列{b_n}的前n项和S_n的公式；

(Ⅱ)当{b_n}是等比数列时，甲同学说：{a_n}一定是等比数列；乙同学说：{a_n}一定不是等比数列．你认为他们的说法是否正确？为什么？

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)解：因为{an}是等比数列，a1＝1，a2＝a， ∴a≠0，an＝an－1． 又bn＝an·an+1　则b1＝a1·a2＝a， ＝a2 即{bn}是以a为首项，a2为公比的等比数列． ∴Sn＝ (Ⅱ)甲、乙两个同学的说法都不正确．理由如下： 解法一：设{bn}的公比为q，则＝q且a≠0 又a1＝1，a2＝a， a1，a3，a5，…，a2n－1，…是以1为首项，q为公比的等比数列， a2，a4，a6，…，a2n，…是以a为首项，q为公比的等比数列． 即{an}为：1，a，q，aq，q2，aq2，… 当q＝a2时，{an}是等比数列； 当q≠a2时，{an}不是等比数列． 解法二：{an}可能是等比数列，也可能不是等比数列．举例说明如下： 设{bn}的公比为q (1)取a＝q＝1时，an＝1(n∈N)，此时bn＝anan+1＝1，{an}、{bn}都是等比数列． (2)取a＝2，q＝1时，an＝．bn＝2，(n∈N)． 所以{bn}是等比数列，而{an}不是等比数列．